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terça-feira, 3 de julho de 2012

Equações do 2º Grau Exercícios

Equação do 2º grau
   Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0
2x²=0  »  x=0
Resolução de equações do 2º grau:
  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
   Multiplicamos os dois membros por 4a:
          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:
          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²=
          2ax+b=
           2ax=-b
   Logo:
              ou  

Fórmula de Bháskara:
 


 
   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
 e  
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
 »  x=2  

 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio
Propriedades:
 
   Duas raízes reais e diferentes
   Duas raízes reais e iguais
   Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes
 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
  e   
A soma das raízes será:

   
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
  
        
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
     
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
  
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
  
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)  Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:  
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}
b )    e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
»  »    »  
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1  » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 
Equação
a
b
c
x² - (m+n)x + p = 0
1
-(m+n)
p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}
 Resolução de equações biquadradas
   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 
 onde  

Exemplo resolvido:

1)
Fazendo x² = y , temos  
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4  e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4  »      e    x²=1  »  
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente

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