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sexta-feira, 14 de outubro de 2011

O Aprendizado da Matemática Escolar

A matemática da escola tem como interesse principal a aprendizagem do aluno, relacionada a psicologia e a didática empregada. Ela faz parte do saber institucionalizado, vista como um saber formal, tendo como lógica os processos dedutivos de resolução dos problemas. Assim a aritmética e a álgebra constituem junto com a geometria a base da matemática escolar. Esses conteúdos são vistos nos livros didáticos, nas propostas curriculares e usados pela maioria dos professores. Os conteúdos pertencentes à álgebra são as equações, inequações, funções; os da aritmética são os números, as quatro operações elementares, a tabuada e os da geometria são as figuras geométricas, as medidas de área, perímetro, massa e volume.
A aritmética que usamos na matemática da escola apresenta uma complexidade de números, com muitas casas decimais ou escritos em notação científica. Podem ser realizados a partir desses números qualquer tipo de cálculo, de qualquer forma que eles estejam representados, sejam, positivos, negativos, racionais, irracionais fracionários, etc. procurando sempre encontrar o resultado exato.
A matemática escolar tem então, seus procedimentos próprios e de avaliação própria dos resultados desses procedimentos, o que acaba por constituir sua legitimidade de método. Com seus próprios significados a matemática escolar parece não levar em conta a utilização cotidiana dos números de forma prática. Isso se dá quando os alunos usam o que aprendem na escola, somente para a escola, sem conseguir utilizar os significados da matemática institucionalizada para resolver problemas fora da escola.
A aritmética traz também várias contribuições à sociedade, como a quantificação e o desenvolvimento de sistemas de agrupamento, a relação medida-números, a invenção de esquemas fracionários, a introdução de decimais, além de estar inserida na linguagem da informática, o emprego de códigos numéricos, as frações simples em jornais, as representações percentuais em “pizzas”, que possuem uma função de relação com o dia a dia de muita importância.
Dentro do nosso atual cenário de educação a aritmética e seus conteúdos específicos devem desenvolver a capacidade do aluno aplicar os conhecimentos aritméticos em situações reais, dominando os conceitos relacionados para que isso aconteça. É preciso desenvolver também diversos tipos de raciocínio matemático diante dos problemas, adotando, assim, uma postura educacional de mudanças para atingir esses objetivos.
Quanto a álgebra podemos considerar um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade.
Na geometria visualiza-se mais uma forma de aprendizado mais fácil pois podemos de certa forma manusear objetos e perceber diferenças para melhores interpretações.
O aprendizado da matemática definido por seus diferentes modelos e “categorias” permite nos encontrar caminhos alternativos para seguir.

Permutação

Seja D um conjunto com d elementos chamamos de permutação a todo arranjo com d elementos, retirados de D.
Exemplo:
1) Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}.
As permutações de A são: {(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}.
2) Quantos anagramas a palavra oba possui?
As permutações da palavra dada são: {(oba);(oab);(bao);(boa);(abo);(aob)}
Calculo de permutações por fatorial, definição de fatorial:
n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)…3.2.1
Exemplo:
1) Quantas são as possíveis formações de 5 pessoas em fila indiana?
5! = 5.4.3.2.1 = 120
2) Quantos são os anagramas da palavra EMPUXO ?
São seis letras, sem repetição, assim 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Caso haja repetição de letras, é necessário dividir o resultado pelo fatorial da quantidade de letras repetidas:
CANOA = 5 letras, porém 2 iguais:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
120/ 2! = 60 anagramas para CANOA.

Perímetro

Certas vezes nos encontramos diante de situações simples e básicas que podem ser elaboradas, exemplificadas e até mesmo solucionadas com o conhecimento matemático.
Um exemplo claro do uso do conhecimento matemático nessas simples situações é quando precisamos saber o tamanho de certas coisas, logo sabemos que essas medidas que procuramos correspondem também ao uso das unidades de medida correspondentes. Um terreno por exemplo, além da área que possui, também possui medidas laterais independente da natureza que é formado esse terreno – quadrado, retângulo, trapézio, etc -. Se tratarmos de um terreno retangular com dimensões laterais de 12m e 25m, sabemos que sua área é 300m². Isso significa que se quisermos calçar o terreno devemos comprar o material necessário para 300m², mas por outro lado se falarmos por exemplo, em cercar esse mesmo local, falaremos em perímetro.
O perímetro de um determinado lugar é a soma das medidas de seus lados. Pegando as dimensões do terreno citado acima temos: 12 m e 15m. Somando a medida de seus lados temos que o perímetro do terreno é igual a 54m.
Se resolvermos dar uma volta completa em torno do terreno iremos caminhar 54m pois esse terreno tem uma dimensão igual a 12m + a outra 15m + outra de 12m e + outra de15m, formando um ciclo em torno do terreno. Como sabemos o local dado como exemplo é da forma retangular, que podemos trabalhar como uma figura geométrica sabendo que o retângulo possui quatro lados sendo os dois não consecutivos paralelos iguais, sendo assim o perímetro desse retângulo é igual a 54 m.
Caso necessitarmos de obter o perímetro de uma figura geométrica qualquer por exemplo, devemos observar primeiro a natureza da figura, ou seja, quantos lados possui; pentágono 5 lados, eneágono 9 lados, triângulo 3 lados, e depois realizar a soma das medidas de todos os lados para achar o perímetro.
As figuras geométricas que trabalhamos inicialmente no estudo de perímetro são as figuras planas, partindo das definições sobre figuras planas, a palavra polígono aparece na grande maioria delas. Toda linha chamada linha poligonal  fechada, podemos  dizer que é uma figura geométrica plana, sendo possível calcular o perímetro em qualquer figura desse tipo.
Portanto nas figuras geométricas planas ou linhas poligonais fechadas é possível determinarmos seu perímetro fazendo a soma dos lados.
Cuidado nas possíveis interpretações de áreas e perímetros de figuras geométricas planas, são coisas extremamente distintas.

Último Teorema de Fermat

Pierre de Fermat
Pierre de Fermat
O Último Teorema de Fermat é assim conhecido por ser o último teorema feito pelo matemático e cientista Pierre de Fermat (França, 1601-1665) sem demonstração que o provasse.
O teorema surgiu a partir de um estudo sobre o famoso Teorema de Pitágoras, que determina que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Adotando x e y como catetos e z como hipotenusa, a fórmula que determina essa relação é:
x² + y² = z²
Fermat fez um teste, variando a potência 2 para outros valores maiores de números inteiros (3, 4…), e não conseguiu achar valores que se adequassem à equação. Assim, formou-se o teorema:
xn + yn = zn não possui solução para números inteiros, tal que n>2.
Como o matemático possuía a prática de fazer apenas anotações informais sobre seus estudos, o único indício de uma prova deste teorema é uma observação por ele deixada em 1637 em um de seus livros, “Aritmética”, de Diofante:
“Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la”.
Esta anotação foi descoberta pelo seu filho alguns anos após sua morte, e junto a outros comentários de Fermat, foi publicada numa edição comentada do livro em questão.
A partir disso, o teorema virou objeto de estudo de diversos estudiosos ao longo dos anos, que tentaram através de diversas abordagens desenvolver uma demonstração que provasse o teorema.
Muitos matemáticos conseguiram provar o teorema para casos específicos, inclusive uma demonstração de Fermat para n=4 foi encontrada. Entre os mais famosos, podem ser citados nos respectivos anos: Leonhard Euler (1770), Peter Barlow (1811), Peter Dirichlet (1825), Gabriel Lamé (1839, 1847, 1865), Peter Guthrie Tait (1872), Carl Gauss (1875, póstuma), entre outros. Outros matemáticos fizeram avanços de formas diferentes, como Sophie Germain, Ernst Kummer e Louis Mordell. No século 20, ainda foram feitas abordagens computacionais buscando provar o teorema em faixas específicas de números.
Muitos prêmios foram oferecidos para quem vencesse o desafio, porém o maior surgiu em 1908. Um prêmio de $100.000 marcos foi oferecido pelo professor Paul Wolfskhel à pessoa que conseguisse obter uma demonstração válida para o teorema. Isto foi mais um grande incentivador para que os matemáticos da época se dedicassem ao problema.
O Último Teorema de Fermat foi enfim demonstrado apenas em 1995. O matemático inglês Andrew Wiles conseguiu o feito utilizando como base uma conjectura feita pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura (conhecida como conjectura Taniyama-Shimura) e conseguiu sua publicação no jornal “Anais da Matemática”. Wiles demonstrava interesse no teorema desde jovem, porém só aprofundou seus estudos nele (de forma secreta) alguns anos antes da descoberta. Wiles foi recompensado com o prêmio $50.000 libras dado pela Fundação Wolfskhel.
Apesar da demonstração para o teorema ter sido descoberta, até hoje é um mistério para a comunidade matemática de como era a demonstração original que Fermat obteve. Muitos conhecimentos matemáticos utilizados para a demonstração moderna não existiam naquela época, colocando até em dúvida se Fermat realmente conseguiu fazer tal feito.
Este teorema ganhou grande destaque também nos últimos anos pelo livro “O Último Teorema de Fermat” do autor britânico Simon Singh, que conta toda a história do teorema, de Fermat até sua demonstração atual.

Usando a Matemática

Quando estamos pretendendo realizar uma atividade, dificilmente associamos a algum conhecimento matemático, ou até mesmo não fazemos a associação com nenhuma disciplina escolar. É importante observar que em todas as atividades que realizamos diariamente tem sempre um questionamento a se fazer relacionado a matemática.
Uma atividade que podemos pegar como exemplo é uma simples ida a padaria, você deve estar pensando, porque padaria? Digamos que pela manhã você vai a padaria comprar pão, em seguida você pensa em quantos pães comprar, ou seja quantas unidades. Sabendo a quantidade que vai comprar vem o questionamento: qual o valor de dinheiro que vou gastar para fazer a compra? evidentemente que temos primeiro que saber qual é o preço da unidade, cada unidade que nós formos comprando temos de somar o valor. O valor total em dinheiro é a soma dos valores unitários, na prática se compramos 6 pães e o valor da unidade é igual a R$0,20, sabemos que o valor da compra é de R$1,20. Usamos valores numéricos para realizar esse raciocínio, abordando conceitos matemáticos importantes como o uso de unidades, soma, quantidade.
A matemática do dia a dia apresenta outras diversas formas de interpretação que não estão relacionados exclusivamente com a forma matemática concreta (matemática com o uso de números, teoremas).
Os atrasos e a correria do dia a dia são coisas que estamos sujeitos. Quantas vezes saímos de casa atrasados querendo em um certo intervalo de tempo chegar em algum lugar, ou desafiarmos até mesmo a capacidade de executar determinadas atividades. Nessa corrida contra o tempo utilizamos a matemática, realizamos cálculos mentais relacionados a quantidade necessária de tempo para concretizar determinadas atividades. Observe que a palavra quantidade aparece de novo em nosso estudo, enfatizando a atividade diária a matemática.
Nós mesmos conseguimos estabelecer a diferença entre o uso da matemática nas atividades, mas como podemos ver algumas coisas não realizaríamos sem a base de um ensino matemático, noções de soma, a questão de quantidade, os princípios básicos da contagem. Jamais ao realizarmos uma atividade relacionada ao calculo de tempo faríamos ligação a matemática , apenas sabemos que um intervalo de tempo pode significar muito ou pouco dependendo do conceito em que devemos relacionar o assunto.
Note que o estudo da matemática no dia a dia enfatiza o ensino da matemática como prática fora da escola, nos forçando por um lado a estudar suas aplicações dentro do local de ensino.

sábado, 8 de outubro de 2011

Potênciação

Definição: Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo:
32 (leia-se “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).
No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.
Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27
Algumas outras definições que podem ser utilizadas:
a1 = a
a0 = 1, a ≠ 0

Propriedades

1 – Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:
an . am = an+m
2 – Divisão de potências de bases iguais – mantenha a base e subtraia os expoentes:
(an) / (am) = an-m , “a” diferente de zero.
3 – Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:
(am)n = am . n

Atenção

As potências abaixo NÃO são iguais:
(am)n
e
amn
na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.
4 – (a . b)n = an . bn
5 – (a/b)n = an/bn , “b” diferente de zero.

Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:
(-3)2 = 9
-32 = -9
O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.
Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:
(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27
se tirarmos os parênteses
-33 = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

Procentagem

A porcentagem serve para representar de uma maneira prática o “quanto” de um “todo” se está referenciando.
Por exemplo, se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% (“40 partes de 100″, ou seja, 40 partes de 100 caixas, logo são 40 caixas) estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso).
O cálculo de porcentagem é bastante simples. Normalmente se usa a regra de três simples e direta.
Se tivéssemos 200 caixas, e 50 delas estivessem com areia, qual seria a porcentagem de caixas vazias?
Fazendo a subtração, descobrimos que 150 estão vazias. Aplicando a regra de três para descobrir a porcentagem:
200 -> 100%
150 -> x
200x = 15000
2x = 150
x = 75
x = 75%
Ou seja, 75% das caixas estão vazias (que representam 150 caixas)
É importante lembrar que 1% é igual á 1/100 . É possível que em alguns vestibulares você encontre problemas do tipo:
(30%)2 = (30/100)2 = 0,32 = 0,09 = 9/100 = 9%
10050% = 10050/100 = 1000,5 = 10

Ponto, reta e Plano

Entes primitivos A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.
Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:
Representação gráfica

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.
1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.

Operações com Matrizes (matriz transposta, adição, subtração, oposta)

Matriz transposta

Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por At a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:
Note que A é do tipo 3 x 2 e At  é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) são matrizes do tipo m x n, então:
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais
Solução:

Adição de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.
Solução:
Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A

Matriz oposta

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:
A oposta de A será
pois:

Subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Probabilidade

Inicialmente para falarmos sobre probabilidade devemos definir o que é um evento aleatório. • Evento aleatório  é aquele que pode ser re-executado várias vezes, sempre nas mesmas condições, e se obtém resultados diferentes, que estão previstos dentro dos possíveis resultados para este experimento, isto ocorre devido ao acaso, não podemos ter a absoluta certeza do resultado de cada um destes eventos.
Exemplos:
I) Lançar uma moeda para cima e observar a face que irá ficar virada para cima após a queda.
II) Escolhermos um aluno dentre os 30 alunos de uma classe.
• Agora iremos definir espaço amostral (Ώ) que é o conjunto de todos os eventos possíveis de um determinado evento aleatório.
Exemplos:
I) Lançar uma moeda para cima e observar a face que irá ficar virada para cima após a queda. O espaço amostral é Cara ou Coroa.
II) De uma urna com 10 bolas vermelhas (v) e 5 bolas brancas (b) retirarmos 2 bolas. O espaço amostral é v,v ou v.b ou b.v ou b,b.
Deve-se relatar que existem espaços amostrais infinitos que não serão tratados aqui.
Evento (n): é um dos subconjunto de um espaço amostral, é escolhido um dos possíveis eventos dentro do espaço amostral.
Exemplo: Um dado é lançado, e é observada a face de cima.
O espaço amostral é { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
a- Ocorrência de um número par. Assim o evento é { 2, 4, 6}.
b- Ocorrência de um número primo. Assim o evento é { 2, 3, 5}.
c- Ocorrência de um número ímpar maior que 3. Assim o evento é {5}.
d- Ocorrência de um número primo maior que 5. Assim o evento é { }.
Conseqüência importante se definirmos o espaço amostral com n elementos, teremos sempre uma quantidade 2n de eventos possíveis, com a existência sempre do conjunto vazio { }.
Para definirmos probabilidade agora iremos utilizar os fatos descritos acima, assim sendo, probabilidade é o número associado à possibilidade de ocorrência de um determinado evento aleatório, escolhido, dentro dos de um espaço amostral.
, sendo sempre n e Ώ a quantidade de elementos do evento e do espaço amostral respectivamente.
Exemplo: Um dado é lançado, e é observada a face de cima.
O espaço amostral é { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
a- probabilidade de ocorrência de um número par.
Evento: { 2, 4, 6} , sendo n = 3 e Ώ = 6 temos que:

b- probabilidade de ocorrência de um número ímpar maior que 3.
Assim o evento é {5}, sendo n = 1 e Ώ = 6 temos que:

Inequação do 2° Grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:
a > 0 a < 0
Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2

Inequação do 1° Grau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:
Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3

Fatorial

O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo númeor fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . Exemplo de número fatorial:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.
* O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.
O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!
exemplo:
6! = 6 . (6-1) . (6-2) . (6-3)!
6! = 6 . 5 . 4 . 3!
6! = 120 . 3!
6! = 120 . 3 . (3-1) . (3-2)!
6! = 120 . 3 . 2 . 1!
6! = 120 . 6 = 720
Divisão de fatoriais
A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe:


Cuidado
As seguintes operações NÃO são válidas:

Conectivos Lógicos

Operação  Conectivo Estrutura Lógica Exemplos
Negação ¬ Não p A bicicleta não é azul
Conjunção ^ P e q Thiago é médico e João é Engenheiro
Disjunção Inclusiva v P ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro
Condicional Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro
Bicondicional P se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico
Conjunção: Vimos pela tabela acima que a operação da conjunção liga duas ou mais proposições simples pelo conectivo “e”. Observemos o exemplo:
Irei ao cinema e ao clube. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as valorações possíveis.
Conjunção: p^q(p e q)
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
  • P: Irei ao cinema
  • Q: Irei ao clube
Observamos que a proposição resultante da conjunção só  será verdadeira quando as proposições simples individuais forem verdadeiras.
Disjunção Inclusiva: Vimos que a operação da disjunção inclusiva liga duas ou mais proposições simples pelo conectivo “ou”. Observemos o exemplo
Darei-te uma camisa ou um calção. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as valorações possíveis.
Disjunção: p v q (p ou q)
P
Q
P v Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
  • P: Darei-te uma camisa
  • Q: Darei-te um calção
Observamos que a proposição resultante da disjunção inclusiva só  será falsa quando as proposições simples individuais forem falsas..
Disjunção Exclusiva: Vimos que a estrutura da disjunção exclusiva é “ ou p ,ou q”
Ex: Ou irei jogar basquete ou irei à casa de João
Montando a tabela verdade teremos
Disjunção Exclusiva: p v q (ou p ou q)
P
Q
P v Q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
  • P: Irei Jogar Basquete
  • Q: Irei à casa de João
Observe a diferença entre a disjunção inclusiva e exclusiva! Como o próprio nome diz “exclusiva” a proposição resultante da disjunção exclusiva só será “V” se uma das partes for “F” e a outra “V” (independentemente da ordem) não podendo acontecer “V” nos dois casos, caso aconteça  a proposição resultante desta operação será falsa.
Condicional; Vimos que a estrutura condicional refere-se a “Se p então q”.
Ex:Se nasci em Salvador , então  sou Baiano.
  • P: Nasci em salvador
  • Q: Sou Baiano
Nesta estrutura vale destacar os termos suficiente e necessário
Observe que:
Se nasci em Salvador suficientemente sou Baiano ,
Agora, se sou Baiano necessariamente nasci em Salvador
Regra: O que esta a esquerda da seta é sempre condição suficiente e o que está à direita é sempre condição necessária.  ( p → q).
Tabela Verdade da estrutura condicional.
Condicional: p → q (Se… então)
P
Q
P → Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Observe que a condicional só será falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso.
Bicondicional: É a estrutura formada por duas condicionais… “ p se e somente se q”.
Observe que;
Ex:
4 é maior que 2 se e somente se  2 for menor  que 4 .
  • P: 4 é maior  que 2
  • Q: 2 é menor que 4
Temos que a Bicondicional é equivalente á:
  • P → Q (Se 4 é  maior  que  2, então 2 é menor que  4)
  • Q → P( Se 2 é menor que 4, então 4 é maior que 2)
A Bicondicional expressa uma condição suficiente e necessária.
4  ser maior que 2 é condição suficiente e necessária para 2 ser menor do que 4.
Tabela Verdade
Bicondicional: p ↔ q   ( p se e somente se q)
P
Q
P ↔ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
A proposição resultante da bicondicional só será falsa se as proposições individuais possuírem valoração diferente.
Negação: ¬p
P: O Brasil é um País pertencente a América do Sul.
¬P: O Brasil não é um País pertencente a América do Sul
Q: X é Par
¬Q:  X não é par ( ou X é ímpar)
As tabelas verdades são apenas um meio de saber a valoração das proposições consideradas, não há a necessidade de serem decoradas, uma vez que são fáceis de serem entendidas. Porém existem pessoas que acham mais fácil decorá-las, enfim vai do pensamento de cada um.
Vejamos um exemplo da Conjunção “E”
Analisemos a sentença como uma promessa
“Irei a Argentina  E irei ao Chile “
O que se espera dessa proposição (promessa)?
Que o indivíduo vá para  a argentina e também para o Chile  ( V e  V=  V) Promessa “V”álida
Agora;
  • Suponhamos que ele só vá a Argentina e não vá ai Chile  ( V e   F  = F) Promessa “F”urada
  • Suponhamos que ele não vá a Argentina e somente vai ao Chile ( F e V = F) Promessa descumprida, “F”urada
  • Suponhamos que ela não vá a Argentina nem ao Chile (F e  F  =F) Promessa “F”urada
  • Vemos o que torna a proposição verdadeira no caso da conjunção é que ambas as partes sejam “V”.

Frações e Números Racionais

Desde o início da educação escolar absorvemos diferentes conteudos de forma que com o simples aprendizado que tivemos, seja suficientemente o bastante para conseguimos fazer associações usuais não só na matemática mas em  qualquer outra disciplina no nosso dia a dia. O conceito de frações é um assunto que nos deparamos frequentemente.
No pré escolar nos é passado a noção de divisão baseando-se no manuseio de materiais concretos que são ferramentas importantes no ensino da matemática, é o que chamamos de matemática concreta. É mais fácil identificar as operações fundamentais com materiais concretos do que com propriedades que são abstratas para o nosso raciocínio.
O estudo de fração apresenta uma necessidade maior do uso de materiais concretos, pois, trata- se de mostrarmos uma parte inteira subdividida em outras partes que juntas formam o inteiro. Esses conceitos elementares associados as frações nos possibilita trabalhar melhor futuramente com os números racionais, cujo a contextualização parte dos estudos de propriedades de frações.
Os números racionais tem por definição, que um número é racional quando um número pode ser escrito da forma P/Q onde Q é diferente de 0. Resumindo, os números racionais são aqueles que podem ser escritos em forma de fração. A definição anterior nos mostra que um número cujo o denominador é P, e o denominador é Q, onde Q é diferente de 0. Como não existem frações com denominador igual a 0, podemos concluir que as frações são números racionais. Em algumas definições de números racionais o termo razão pode aparecer como um termo equivalente a fração.
O conceito da divisão associado ao estudo de frações é algo que podemos utilizar par a identificação de certo número racional, quando por exemplo temos:
2/4, uma fração cujo o numerador é 2 e o denominador é 4, ou pode-se dizer que é um número racional cujo  valor de P/Q é igual 0,5 ; que é o valor da divisão de 2 por 4. Para  a identificação do número racional ter sido realizada e o número racional ter sido identificado foi necessário que o denominador da fração ou o valor de Q, na definição P/Q, fosse diferente de 0.
Logo fica fácil de observar a relação entre esses direta entre esses dois assuntos dentro do ensino da matemática, tornando assim os assuntos de divisão e frações pré requisitos necessários no estudo dos números racionais, que também servem de estudo para outras definições matemáticas.

Cálculo de Derivadas

  Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação.
- Definição:
OBS: Para usar a definição, é nescessário um conhecimento prévio sobre Limites.
Definição:
Lim    f(x+Δx) – f(x)
Δx >> 0      Δx
- Método prático:
OBS: Esse método só serve para derivadas de uma função potência (não exponencial natural).
Método Prático: Dx(x^n) = n.x^n-1 (leia-se Derivada de x elevado a n é igual a n multiplicado por x elevado a n-1.
  Exemplo: f(x) = x³ então f’(x) = 3x² .

Obs.: f é uma função, f’ é a sua derivada. ==> Derivadas:
*Função Constante:
f’( c ) = 0;
Exemplo: f’(5) = 0;
*Função Identidade:
f’(x) = 1;
Exemplo: f’(2x) = 2.1 = 2; (Quando se tem uma constante no termo, ela permanece. No caso de uma constante estar sozinha num termo, a sua derivada vale zero.
*Função Exponencial Natural:
f’(e^x) = (e^x) . x’;
Exemplo: f’(e^2x) = (e^2x) . 2 = 2e^2x; (O símbolo ^ significa “elevado à”)
*Função Logaritmo natural:
f’(ln|x|) = x’/x;
Exemplo: f’(ln|2x+1|) = 2/2x+1;
*Derivada da soma de duas funções:
f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x));
Exemplo: f’((2x) + (5x^2+5)) = 2 + 10x;
*Derivada do produto de uma constante por uma função:
f’(c.g(x)) = c.g’(x);
Exemplo: f’(2.(2x)) = 2.2 = 4;
*Função potência:
f’(x^n) = n.x^(n-1);
Exemplo: f’(x^3) = 3x^2;
*Derivada do produto de duas funções:
f’(g(x) . h(x)) = g’(g).h(x) + g(g).h’(x);
Exemplo: f’(3x^2 . 5x) = 6x.5x + (3x^2).5 = 30x^2 + 15x^2 = 45x^2;

Dizímas Periódicas

Para estudo da dizimas periódicas enunciaremos primeiro:

Números racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica.

Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111…

Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q, só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.

Definição

Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.

Exemplos:

2/7 = 0,285714285…
1/9 = 0,111111111…
4/13 = 0,307692307…

Classificação

Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula.

Exemplos:

2/3 = 0,6666666……. Período: 6
4/13 = 0,307692307…. Período: 307692
31/33 = 0,93939393…. Período: 93

Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica.

Exemplos:

35/42 = 0,833333…. Período: 3 , Parte não periódica: 8
44/45 = 0,977777…. Período: 7 , Parte não periódica: 9
35/36 = 0,972222…. Período: 2 , Parte não periódica: 97

Estatísticas

A palavra estatística é do latim e significa “estado”. Este termo provém do primeiro uso da estatística eu tinha como função o registro de dados (nº de habitantes da população, nº de casamentos…) e a elaboração de tabelas e gráficos para descrever resumidamente um determinado país em números.

Passado muito tempo a estatística evoluiu, tornando-se uma ampla e complexa ciência, tirando conclusões sobre o conjunto todo a partir de amostras representativas.

Uma boa definição de estatística é a de ser um conjunto de métodos especialmente apropriados à coleta, à apresentação (organização, resumo e descrição), à análise e à interpretação de dados de observação, tendo como objetivo a compreensão de uma realidade específica para a tomada da decisão.

Mais precisamente a estatística se preocupa com:

-A coleta, a organização, a sintetização e a apresentação de dados;

-A medição da variação nos dados e levantamento de dados;

-A estimativa dos parâmetros da população e a determinação da precisão das estimativas;

-A aplicação dos testes de hipótese em relação aos parâmetros;

-A análise da relação entre duas ou mais variáveis.

A estatística trabalha com dois conjuntos de dados: o universo e a amostra. Apesar de a estatística se preocupar em obter informações sobre a população, dificilmente ela estuda todos os componentes da mesma (censo).

Não existem estatísticas especiais, como bioestatística e estatística econômica, mas sim aplicações específicas de estatística em determinadas áreas, o que leva a dividir a estatística especificamente para questões didáticas.

A estatística pode ser dividida em duas:

-Estatística descritiva: é a parte que procura os melhores métodos para coletar, ordenar e sumarizar os dados dos experimentos.

-Estatística experimental: é a parte que fornece os métodos de análise e interpretação dos resultados dos experimentos.

Obs. Experimento é uma pesquisa de forma ordenada e controlada que visa gerar informações, obtendo novos dados ou confirmações para hipóteses já existentes.

sexta-feira, 7 de outubro de 2011

Triângulo Retângulo

Todo triângulo que tem um ângulo de 90°(ângulo reto) é denominado triângulo retângulo. O triângulo ABC tem um ângulo reto e é denominado triângulo retângulo:
Onde:
a: hipotenusa;
b e c: catetos;
h: altura relativa à hipotenusa;
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

Chamamos relações métricas no triângulo retângulo às relações existentes entre os diversos segmentos desse triângulo. Assim, para um triângulo retângulo ABC, podemos estabelecer as seguintes relações entre as medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa.
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
- O quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos(teorema de Pitágoras).

Teorema linear de Tales

O teorema linear de Tales estabelece as relações existentes entre os segmentos determinados quando um feixe de paralelas é cortado por duas ou mais transversais.
Considere as retas a, b, c, paralelas duas a duas, e as transversais r e s. nesta situação, as medidas dos segmentos determinados em r são diretamente proporcionais às medidas dos segmentos correspondentes na reta s.
ou ainda
Uma aplicação do teorema de Tales está no estabelecimento das condições de semelhança entre dois triângulos obtidos quando a partir do lado de um deles, traçamos uma paralela a outro.
Se PQ//CB, então:
Como os lados são proporcionais dizemos que os triângulos são semelhantes.

Cincurferência

A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano, que estão a uma mesma distância de um determinado ponto, chamado centro. Essa distância é denominada raio r da circunferência.
O comprimento C de uma circunferência de raio r pode ser determinado retificando-se a cirtunferência:
Arcos e ângulos
Consideremos dois pontos, A e B, em uma circunferência de centro O. o ângulo formado pelos segmentos OB e AO, com o vértice no centro, é denominado ângulo central.
AÔB = ângulo central
O ângulo central determina na circunferência dois arcos de circunferência:
Se A e B forem coincidentes, teremos um arco nulo e outro de uma volta.
Grau e Radiano
As unidades de medida de arcos são grau e radiano. Arcos de 1° é aquele cujo comprimento é igual a 1/360 do comprimento da circunferência. O arco de uma volta corresponde, portanto, a C=360°.
Arco de um radiano (1 rad), é aquele cujo comprimento é igual ao raio da circunferência em que esta contido.
Se 1 rad é a medida de um arco cujo comprimento (retificado) é igual a 1r, então 2 rad é a medida de um arco de comprimento igual a 2r, μrad é a medida de um arco de comprimento igual a μr e 2 μrad é a medida de um arco de comprimento e 2 μr. O arco de uma volta corresponte, portanto, C = 2μr. Logo:
Denomina-se medida de uma arco em radianos a razão entre seu comprimento e o comprimento do raio da circunferência em que está contido, ambos na mesma unidade de medida.