Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com
. Exemplos:
| Equação | a | b | c |
| x²+2x+1 | 1 | 2 | 1 |
| 5x-2x²-1 | -2 | 5 | -1 |
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x=
» x= 
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução
de equações do
2º grau:
A
resolução de equações
do 2º grau incompletas
já foi explicada acima,
vamos agora resolver equações
do 2º grau completas, ou
seja, do tipo ax²+bx+c=0
com a,
b e c diferentes
de zero.- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de
(delta)b²-4ac:
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou 
Fórmula
de Bháskara:
 |
 |
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula:
= 
e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara:
» x=2 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
) 3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que
<0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim,
a equação não
possui nenhuma raiz real.Logo:
» vazio
Propriedades:
 |
Duas raízes reais e diferentes |
 |
Duas raízes reais e iguais |
 |
Nenhuma raiz real |
Relações entre coeficientes e raízes
 |
 |
Dado a equação ax²+bx+c=0, com
e 
, suas raízes são: 
e 
A soma das raízes
será:
Logo, a soma das raízes
de uma equação
do 2º grau é dada
por: 
O produto das raízes
será:
Logo, o produto das
raízes de uma equação
do 2º grau é dada
por:
Podemos através
da equação ax²+bx+c=0,
dividir por a.
Obtendo: 
Substituindo por 
e 
:
e :
Obtendo a Soma
e Produto de uma equação
do 2º grau:
x²
- Sx + P = 0
|
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8
=0
Sendo a=2, b=-6 e
c=-8
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução
de equações fracionárias
do 2º grau:
Equações
fracionárias são
as que possuem incógnitas
no denominador e o processo
de resolução destas
equações é
o mesmo das equações
não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a) 
Onde 
, pois senão anularia o denominador
Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando
o m.m.c dos denominadores: 2x
Então: 
Eliminando os denominadores,
pois eles são iguais:
» 
Aplicando a fórmula
de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` =
4. » S={2,-4}
b ) 
e 
e
[Sol] m.m.c dos denominadores:
(x-1).(x+2)
Então: 
Eliminando os denominadores:
» 
» 
» 
* Note que a solução
da equação deve
ser diferente de 1 e 2 pois
senão anularia o denominador,
logo a solução
da equação será
somente:
x=-1 »
S={-1}
Resolução
de equações literais
do 2º grau:
Equações
literais são as que possuem
uma ou mais letras além
da incógnita.
| Equação |
a
|
b
|
c
|
| x² - (m+n)x + p = 0 |
1
|
-(m+n)
|
p
|
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
, Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução
de equações biquadradas
Equacão
biquadrada como o próprio
nome diz, são equações
nas quais estão elevadas
ao quadrado duas vezes, sua
forma é:
 onde  |
Exemplo resolvido:
1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo,
y = 4 e y`= 1
Voltando
a variável x:
Como
y=x², temos:
x²=4
» 
e x²=1 » 
e x²=1 »
Então
a solução será
» S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
ou simplesmente
